1876. Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a
, b
и c
— параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
Ответ. a+b+c
.
Указание. Сначала рассмотрите случай, когда указанная точка лежит на стороне треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть точка M
расположена на стороне BC
треугольника ABC
, а точки K
и N
— на сторонах AB
и AC
соответственно, причём MK\parallel AC
и MN\parallel AB
; KP=a
, NQ=b
и AR
— высоты треугольников BKM
, MNC
и ABC
.
Через точку N
проведём прямую, параллельную BC
. Предположим, что эта прямая пересекает сторону AB
в точке F
, расположенной между A
и K
. Четырёхугольник AKMN
— параллелограмм, поэтому AN=KM
. Высота AD
треугольника ANF
равна высоте KP
равного ему треугольника KMB
, следовательно,
AR=AD+DR=KP+NQ=a+b.
Если точка M
лежит внутри треугольника ABC
на расстоянии, равном c
, от прямой BC
, то искомая высота равна сумме трёх данных высот.
Второй способ. Воспользуемся следующим утверждением. Если прямая имеет с параллелограммом XYZT
единственную общую точку T
, то расстояние от точки Y
до этой прямой равно сумме расстояний до этой прямой от точек X
и Z
.
Пусть точка M
расположена на стороне BC
треугольника ABC
, а точки K
и N
— на сторонах AB
и AC
соответственно, причём MK\parallel AC
и MN\parallel AB
; KP=a
, NQ=b
и AR
— высоты треугольников BKM
, MNC
и ABC
. Тогда прямая BC
имеет единственную общую точку M
с параллелограммом AKMN
. Следовательно,
AR=AD+DR=KP+NQ=a+b.
Если точка M
лежит внутри треугольника ABC
на расстоянии, равном c
, от прямой BC
, то искомая высота равна сумме трёх данных высот.