1877. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до боковых сторон постоянна.
Указание. Через данную на основании точку проведите прямые, параллельные боковым сторонам треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть точка M
лежит на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
. Проведём через неё прямые, параллельные боковым сторонам AB
и AC
. Если Q
и P
— точки пересечения проведённых прямых со сторонами соответственно AB
и AC
, то треугольники BQM
и MPC
— равнобедренные, поэтому их высоты, опущенные на боковые стороны, равны между собой. Сумма расстояний от точки M
до боковых сторон треугольника — это сумма высот равнобедренных треугольников BQM
и MPC
, проведённых из вершин B
и M
. Но высота треугольника BQM
, проведённая из вершины B
, равна его высоте, проведённой из вершины M
. Следовательно, указанная сумма равна высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины B
.
Второй способ. Пусть точка M
лежит на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
. Обозначим через h_{1}
и h_{2}
расстояния от точки M
до боковых сторон AB
и AC
соответственно, а через h
— высоту треугольника ABC
, опущенную из вершины B
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AMB}+S_{\triangle AMC},~\mbox{или}~\frac{1}{2}AC\cdot h=\frac{1}{2}AB\cdot h_{1}+\frac{1}{2}AC\cdot h_{2}.
Поскольку AB=AC
, то из полученного равенства следует, что
h_{1}+h_{2}=h.