1878. Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
Указание. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямая, проходящая через вершину A
параллелограмма ABCD
с центром O
перпендикулярно диагонали BD
, пересекает прямую, проходящую через вершину D
перпендикулярно диагонали AC
, в точке P
. Тогда P
— точка пересечения высот треугольника AOD
. Следовательно, третья высота этого треугольника лежит на прямой PO
и PO\perp AD
.
Аналогично докажем, что точка Q
пересечения двух оставшихся из указанных в условии прямых есть точка пересечения высот треугольника BOC
. Значит, QO\perp AD
и диагональ PQ
полученного четырёхугольника (очевидно, это также параллелограмм) проходит через точку O
. Следовательно, PQ\perp AD
. Аналогично для второй диагонали.