1880. Теорема о средней линии треугольника. Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна стороне треугольника, а средняя линия треугольника равна половине этой стороны.
Указание. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Через вершину C
проведите прямую, параллельную стороне AB
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
. Пусть эта прямая пересекает продолжение средней линии MN
в точке K
. Тогда треугольники NCK
и NAM
равны по стороне (NC=NA
) и двум прилежащим к ней углам. Значит, CK=AM=MB
. Кроме того, CK\parallel MB
(по построению). Поэтому четырёхугольник BMKC
— параллелограмм. Следовательно, MN\parallel BC
.
Из равенства треугольников NCK
и NAM
также следует, что MN=NK
. Следовательно,
MN=\frac{1}{2}MK=\frac{1}{2}BC.
Примечание. 1. Верно также обратное: если точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
и при этом MN\parallel BC
и MN=\frac{1}{2}BC
, то MN
— средняя линия треугольника ABC
.
Доказательство. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Предположим, что MN
— не средняя линия. Отметим середины M_{1}
и N_{1}
сторон AB
и AC
соответственно. Тогда противоположные стороны MN
и M_{1}N_{1}
четырёхугольника MNN_{1}M_{1}
равны и параллельны. Значит, это параллелограмм, что невозможно, так как прямые MM_{1}
и NN_{1}
пересекаются.
2. См. также статью В.И.Вагутена «Средняя линия», Квант, 1989, N6, с.46-51.