1882. BB_{1}
и CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. На продолжении медианы CC_{1}
за точку C_{1}
отложен отрезок C_{1}C_{2}
, равный \frac{1}{3}CC_{1}
. Оказалось, что C_{2}B_{1}=AB_{1}
. Докажите, что медианы CC_{1}
и BB_{1}
взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
CM=\frac{2}{3}CC_{1},~MC_{1}=\frac{1}{3}CC_{1}=C_{1}C_{2},~C_{2}M=\frac{2}{3}CC_{1},
поэтому CM=C_{2}M
, а так как C_{2}B=AB_{1}=B_{1}C
, то B_{1}M
— медиана равнобедренного треугольника CB_{1}C_{2}
, проведённая к основанию CC_{2}
. Следовательно, B_{1}M\perp CC_{1}
.