1886. Дан четырёхугольник, сумма диагоналей которого равна 18. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Ответ. 18.
Указание. Проведите диагональ четырёхугольника и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
. Тогда KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ACD
с общей стороной AC
. Поэтому
KL=MN=\frac{1}{2}AC.
Аналогично докажем, что
KN=LM=\frac{1}{2}BD.
Следовательно,
KL+LM+MN+KN=(KL+MN)+(KN+LM)=AC+BD=18.