1897. Две прямые, проходящие через точку C
, касаются окружности в точках A
и B
. Может ли прямая, проходящая через середины отрезков AC
и BC
, касаться этой окружности?
Ответ. Нет.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника и неравенством треугольника.
Решение. Предположим, что прямая, проходящая через середины P
и Q
отрезков AC
и BC
, касается окружности в точке M
. Тогда
PQ=PM+QM=AP+BQ=CP+CQ,
что невозможно, так как CP+CQ\gt PQ
.