1898. Сторона треугольника равна a
. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.
Ответ. \frac{1}{4}a
.
Указание. С помощью теоремы о средней линии треугольника докажите, что середина MC
и середины указанных медиан лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Пусть K
и L
— середины медиан соответственно BM
и CN
треугольника ABC
со стороной BC
, равной a
. Если F
— середина MC
, то FL
— средняя линия треугольника MCN
, а FK
— средняя линия треугольника BMC
, поэтому FL\parallel MN\parallel BC\Vert KF
. Значит, точки K
, L
и F
лежат на одной прямой. Следовательно,
KL=KF-FL=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a.
Второй способ. Пусть K
и L
— середины медиан соответственно BM
и CN
треугольника ABC
со стороной BC
, равной a
. Если P
— середина BC
, то MP
— средняя линия треугольника ABC
, а так как медиана CN
и средняя линия MP
делят друг друга пополам, то точки M
, L
и P
лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки N
, K
и P
лежат на одной прямой. Значит, KL
— средняя линия треугольника MPN
. Следовательно,
KL=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}a.