1903. Окружность проходит через середины гипотенузы AB
и катета BC
прямоугольного треугольника ABC
и касается катета AC
. В каком отношении точка касания делит катет AC
?
Ответ. 1:3
, считая от вершины C
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о диаметре окружности, перпендикулярном хорде, и теоремой о средней линии треугольника.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
, N
— середина катета BC
, K
— точка касания данной окружности с прямой AC
, P
— середина средней линии MN
треугольника ABC
. Перпендикуляр к AC
, проведённый через точку K
, проходит через центр окружности и делит пополам перпендикулярную ему хорду MN
, т. е. проходит также через точку P
. Тогда
CK=NP=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC.
Следовательно, CK:AK=1:3
.