1904. Две медианы треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Указание. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть BM
и CN
— равные медианы треугольника ABC
, O
— точка их пересечения. Тогда
ON=\frac{1}{3}CN=\frac{1}{3}BM=OM,~OB=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}CN=OC,
поэтому треугольники BON
и COM
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
AB=2BN=2CM=AC.