1905. Постройте параллелограмм по вершине и серединам сторон, не содержащих эту вершину.
Указание. Точка пересечения медиан треугольника с вершинами в трёх данных точках — центр искомого параллелограмма.
Решение. Первый способ. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
, O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
, K
— точка пересечения AC
и MN
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника CBD
, то K
— середина OC
. Поэтому
OK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AO.
Значит, O
— точка пересечения медиан треугольника AMN
.
Отсюда вытекает следующее построение. Проведём медиану AK
треугольника MAN
. Построим точку O
, которая делит отрезок AK
в отношении AO:OK=2:1
. На её продолжении за точку K
отложим отрезок KC
, равный OK
. Проведём прямые CM
и CN
. Через точку A
проведём прямую, параллельную CN
. Эта прямая пересекается с прямой CM
в точке B
— вершине искомого параллелограмма. Аналогично построим вершину D
.
Четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны по построению. Осталось доказать, что N
— середина CD
, а M
— середина BC
. Действительно, четырёхугольник OMCN
— параллелограмм, так как его диагонали OC
и MN
делятся точкой пересечения K
пополам. Значит, ON\parallel BC\parallel AD
, а так как O
— середина AC
, то N
— середина CD
. Аналогично для точки M
.
Второй способ. Пусть M
и N
— данные середины сторон соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
с данной вершиной A
. На продолжениях отрезка MN
за точки M
и N
отложим отрезки MP
и MQ
соответственно, равные отрезку MN
. Через точку M
проведём прямую, параллельную AQ
. Пусть проведённая прямая пересекает прямую AP
в точке B
. Через точку N
проведём прямую, параллельную AP
. Пусть проведённая прямая пересекает прямую AQ
в точке D
. Тогда ABCD
— искомый параллелограмм.
Действительно, противоположные стороны четырёхугольника ABCD
попарно параллельны, значит, это параллелограмм, а так как M
— середина отрезка PN
, то треугольники BMP
и CMN
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, BM=MC
, т. е. M
— середина стороны BC
. Аналогично, N
— середина стороны CD
. Что и требовалось.