1914. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.
Указание. Через вершину C
меньшего основания BC
равнобедренной трапеции ABCD
проведите прямую, параллельную диагонали BD
.
Решение. Углы при вершинах A
и D
равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
равны. Из равенства треугольников ABD
и DCA
(по двум сторонам и углу между ними) следует равенство углов BDA
и CAD
.
Через вершину C
меньшего основания BC
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD
в точке K
. Поскольку BCKD
параллелограмм, то CK=BD
, а так как
\angle CKA=\angle BDA=\angle CAD,
то треугольник CKA
равнобедренный, поэтому AC=CK=BD
.