1915. Диагонали трапеции равны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Указание. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведите прямую, параллельную диагонали BD
.
Решение. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD
в точке K
. Поскольку BCKD
параллелограмм, CK=BD=AC
, поэтому треугольник CKA
равнобедренный. Значит,
\angle BDA=\angle CKA=\angle CAD.
Треугольники ABD
и DCA
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle BAD=\angle CDA
. Следовательно, трапеция ABCD
равнобедренная.