1918. Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на другом её основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон.
Указание. Пусть биссектриса угла при вершине B
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекает прямую AD
в точке K
. Тогда треугольник ABK
равнобедренный.
Решение. Пусть биссектрисы углов при вершинах B
и C
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке K
, лежащей на основании AD
. Тогда
\angle AKB=\angle CBK=\angle ABK,
поэтому треугольник ABK
равнобедренный, AK=AB
. Аналогично DK=CD
. Следовательно,
AD=AK+DK=AB+CD.