1930. Окружность касается всех сторон равнобедренной трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.
Указание. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны между собой.
Решение. Пусть основания равнобедренной трапеции равны a
и b
, а боковая сторона равна c
. Поскольку в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон трапеции равны между собой, т. е. a+b=2c
. Значит, средняя линия трапеции равна
\frac{a+b}{2}=\frac{2c}{2}=c.