1933. Точки
M
и
N
— середины боковых сторон
AB
и
CD
трапеции
ABCD
. Могут ли прямые
BN
и
DM
быть параллельными?
Ответ. Нет.
Указание. Предположение о том, что
BN\parallel DM
приводит к противоречию с определением трапеции.
Решение. Предположим, что
BN\parallel DM
. Тогда
\angle CNB=\angle NDM
, а так как по теореме о средней линии трапеции
MN\parallel BC
, то
\angle BCN=\angle MND
. Значит, треугольники
BCN
и
MND
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда
MN=BC
, а так как
MN=\frac{BC+AD}{2},

то
BC=AD
, что невозможно по определению трапеции (трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны).