1939. Точка M
— середина отрезка AB
. Точки A_{1}
, M_{1}
и B_{1}
— проекции точек A
, M
и B
на некоторую прямую. Докажите, что M_{1}
— середина отрезка A_{1}B_{1}
.
Указание. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных прямых есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка.
Решение. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных прямых есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка.
Пусть A_{1}
и B_{1}
— проекции точек A
и B
на прямую l
, причём ни одна из точек A
и B
не лежит на прямой l
. Точка M
— середина отрезка AB
, концы которого лежат на параллельных прямых AA_{1}
и BB_{1}
. Концы отрезка A_{1}B_{1}
также лежат на этих прямых. Следовательно, середины отрезков AB
и A_{1}B_{1}
лежат на прямой, параллельной AA_{1}
и BB_{1}
. Это и означает, что середина M_{1}
отрезка A_{1}B_{1}
есть проекция середины M
отрезка AB
на прямую l
.
Случай, когда точка A
(или B
) лежит на прямой l
, очевиден.