1942. Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
Указание. Докажите, что указанные биссектрисы проходят через середину второй боковой стороны данной трапеции.
Решение. Обозначим основания AD
и BC
трапеции ABCD
через a
и b
соответственно. Пусть AB=a+b
, биссектриса угла ABC
пересекает боковую сторону CD
в точке K
, а прямую AD
— в точке M
.
Поскольку треугольник ABM
— равнобедренный (\angle AMB=\angle CBM=\angle ABM
), то
AM=AB,~DM=AM-AD=AB-AD=(a+b)-a=b.
Значит, треугольники BKC
и MKD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, K
— середина CD
. Аналогично докажем, что биссектриса угла BAD
также проходит через точку K
.