1943. Одним прямолинейным разрезом отрежьте от треугольника трапецию, у которой меньшее основание было бы равно сумме боковых сторон.
Указание. Через точку пересечения биссектрис проведите прямую, параллельную стороне треугольника.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку O
пересечения биссектрис треугольника ABC
параллельно стороне BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Тогда
\angle BOM=\angle OBC=\angle OBM,
поэтому треугольник BOM
— равнобедренный. Аналогично докажем, что треугольник CON
— также равнобедренный. Значит,
MN=MO+NO=BM+CN.
Следовательно, каждая прямая, проходящая через точку пересечения биссектрис треугольника параллельно его стороне, отсекает от треугольника трапецию, у которой меньшее основание равно сумме боковых сторон.