1944. Стороны треугольника равны 10
, 17
и 21
. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.
Ответ. 8.
Указание. Обозначьте через x
один из отрезков, на которые основание высоты делит сторону треугольника, и составьте уравнение относительно x
с помощью теоремы Пифагора (или примените формулу Герона и метод площадей).
Решение. Первый способ. Пусть AD
— высота треугольника ABC
, в котором BC=21
, AB=10
и AC=17
. Обозначим BD=x
. Поскольку BC
— наибольшая сторона треугольника, точка D
лежит на отрезке BC
, поэтому CD=21-x
. Выразив AD^{2}
по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABD
и ACD
, получим уравнение
100-x^{2}=289-(21-x)^{2},
из которого находим, что BD=x=6
. Следовательно,
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=64,~AD=8.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, p=\frac{10+17+21}{2}=24
, h
— искомая высота, опущенная на наибольшую сторону BC=21
. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}=
=\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3}=4\cdot3\cdot7=84.
С другой стороны
S=\frac{1}{2}AB\cdot h=\frac{21h}{2}.
Из уравнения \frac{21h}{2}=84
находим, что h=8
.