1953. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен 120^{\circ}
. Найдите диагонали трапеции.
Ответ. 4\sqrt{3}
, 2\sqrt{19}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из вершины тупого угла трапеции на большее основание.
Решение. Пусть A
и B
— вершины прямых углов трапеции ABCD
с основаниями AD=8
, BC=6
и углом, равным 120^{\circ}
, при вершине C
. Опустим перпендикуляр CK
из вершины C
на основание AD
. Тогда
AB=CK,~AK=BC,~KD=AD-AK=8-6=2.
Угол при вершине C
прямоугольного треугольника CKD
равен 120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}
. Поэтому
CK=KD\ctg30^{\circ}=2\sqrt{3}.
Из прямоугольных треугольников ACK
и ABD
по теореме Пифагора находим, что
AC^{2}=AK^{2}+CK^{2}=36+12=48,~BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=12+64=76.
Следовательно, AC=4\sqrt{3}
и BD=2\sqrt{19}
.