1955. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна a
и делит сторону пополам. Острый угол параллелограмма равен 30^{\circ}
. Найдите диагонали параллелограмма.
Ответ. 2a
, 2a\sqrt{7}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из вершины C
острого угла параллелограмма ABCD
на прямую AD
.
Решение. Пусть M
— основание высоты BM
параллелограмма ABCD
, проведённой из вершины тупого угла B
. По условию M
— середина AD
. Тогда \angle BDM=\angle BAM=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника BMD
находим, что BD=2BM=2a
.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую AD
. Тогда треугольник CKD
равен треугольнику BMA
по гипотенузе и острому углу. Поэтому
CK=BM=a,DK=AM=BM\ctg30^{\circ}=a\sqrt{3},
AK=AD+DK=2a\sqrt{3}+a\sqrt{3}=3a\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника AKC
по теореме Пифагора находим, что
AC^{2}=AK^{2}+CK^{2}=27a^{2}+a^{2}=28a^{2}.
Следовательно, AC=2a\sqrt{7}
.