1963. Найдите высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей и площадь равностороннего треугольника со стороной a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{2}
, \frac{a\sqrt{3}}{6}
, \frac{a\sqrt{3}}{3}
, \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Указание. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, биссектрисой и серединным перпендикуляром к основанию.
Решение. Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
(точка пересечения высот, медиан, биссектрис, серединных перпендикуляров), AM
— высота треугольника ABC
. Тогда
AM=AC\sin\angle ACB=a\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
По теореме о медианах треугольника
OA=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3},~OM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6},
но OA
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, а OM
— радиус вписанной окружности.
Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.