1967. Докажите, что произведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.
Указание. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Рассмотрите прямоугольные треугольники BB_{1}C
и AA_{1}C
с общим острым углом или выразите двумя способами площадь треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Тогда BB_{1}C
и AA_{1}C
— прямоугольные треугольники с общим острым углом \alpha
(это либо угол C
, либо смежный с ним угол), поэтому
\frac{AA_{1}}{AC}=\sin\alpha=\frac{BB_{1}}{BC}.
Следовательно, BC\cdot AA_{1}=AC\cdot BB_{1}
.
Второй способ. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}~\mbox{и}~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BB_{1},
поэтому
\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}AC\cdot BB_{1}.
Следовательно, BC\cdot AA_{1}=AC\cdot BB_{1}
.
Примечание. В частности, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.