1970. Точка M
расположена на стороне CD
квадрата ABCD
с центром O
, причём CM:MD=1:2
. Найдите стороны треугольника AOM
, если сторона квадрата равна 6.
Ответ. 3\sqrt{2}
, 2\sqrt{13}
, \sqrt{10}
.
Указание. Опустите перпендикуляры из центра квадрата на стороны CD
и AD
.
Решение. Пусть K
— проекция точки O
на сторону CD
квадрата ABCD
. Тогда K
— середина CD
. Из прямоугольных треугольников OMK
и AMD
находим, что
OM^{2}=OK^{2}+KM^{2}=9+1=10,~AM^{2}=AD^{2}+DM^{2}=36+16=52.
Пусть P
— проекция точки O
на AD
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AOP
находим, что
AO=AP\sqrt{2}=3\sqrt{2}.