1972. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. Верна ли она?
Ответ. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный.
Указание. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, причём a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Рассмотрите прямоугольный треугольник с катетами a
и b
или воспользуйтесь теоремой косинусов.
Решение. Первый способ. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, причём a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a
и b
. Его гипотенуза по теореме Пифагора равна \sqrt{a^{2}+b^{2}}
. Поэтому рассматриваемый треугольник равен данному по трём сторонам. Следовательно, и данный треугольник — прямоугольный.
Второй способ. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, причём a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Обозначим через \alpha
угол между сторонами, равными a
и b
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=0.
Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.