1974. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной a
и b
. Найдите диагонали ромба.
Ответ. \sqrt{2b(a+b)}
, \sqrt{2(a+b)(2a+b)}
или \sqrt{2a(a+b)}
, \sqrt{2(a+b)(2b+a)}
.
Указание. Воспользуйтесь свойствами диагоналей ромба и теоремой Пифагора.
Решение. Пусть высота BH
, проведённая из вершины B
тупого угла ромба ABCD
, делит сторону AD
на отрезки AH=a
и DH=b
. Из прямоугольных треугольников ABH
и DBH
последовательно находим
BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=(a+b)^{2}-a^{2}=2ab+b^{2},
BD^{2}=BH^{2}+DH^{2}=2ab+b^{2}+b^{2}=2b(a+b).
Пусть O
— точка пересечения диагоналей ромба. Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
AO^{2}=AB^{2}-OB^{2}=AB^{2}-\frac{1}{4}BD^{2}=(a+b)^{2}-\frac{1}{4}\cdot2b(a+b)=
=\frac{1}{4}(4a^{2}+6ab+2b^{2})=\frac{1}{4}(2a+b)(a+b).
Следовательно,
BD=\sqrt{2b(a+b)},~AC=2AO=\sqrt{2(a+b)(2a+b)}.
Аналогично для случая AH=b
и DH=a
.