1982. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна a
, а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.
Ответ. a\sqrt{3}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
Решение. Пусть AM
— высота равнобедренного треугольника ABC
, проведённая к основанию BC
, K
— середина боковой стороны AB
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому
AM=MK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a.
Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
MB=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, BC=2BM=a\sqrt{3}
.