1983. Сторона треугольника равна 2, прилежащие к ней углы равны 30^{\circ}
и 45^{\circ}
. Найдите остальные стороны треугольника.
Ответ. 2(\sqrt{3}-1)
, \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)
.
Указание. Проведите высоту из вершины наибольшего угла треугольника.
Решение. Пусть AD
— высота данного треугольника, проведённая из вершины наибольшего угла, \angle B=45^{\circ}
, \angle C=30^{\circ}
. Обозначим AD=x
. Из прямоугольных треугольников ADB
и ADC
находим, что
BD=AD=x,~CD=AD\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3},
а так как BD+CD=BC
, то имеем уравнение x+x\sqrt{3}=2
. Откуда находим, что
x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.
Следовательно,
AB=\frac{BD}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1),~AC=\frac{CD}{\cos30^{\circ}}=2(\sqrt{3}-1).
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 7.2.18, с. 97