1991. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведён к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключённый внутри треугольника, равен c
, а отрезок, заключённый между одним катетом и продолжением другого, равен 3c
. Найдите гипотенузу.
Ответ. 4c
.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
, N
и K
— точки пересечения перпендикуляра к AB
, проходящего через точку M
, с катетом AC
и продолжением катета BC
соответственно. Обозначим AM=BM=x
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BKM=\angle BAC=\alpha,
поэтому
\frac{MN}{AM}=\tg\alpha=\frac{BM}{MK},~\mbox{или}~\frac{c}{x}=\frac{x}{4c},
откуда x=2c
. Следовательно, AB=2x=4c
.