1997. В параллелограмме ABCD
сторона BC
в четыре раза больше стороны AB
. Биссектрисы углов DAB
и ABC
пересекают прямую CD
в точках M
и N
соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD
, если MN=14
.
Ответ. 20.
Указание. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Решение. Пусть биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке P
. Положим AB=CD=a
, BC=AD=4a
. Поскольку \angle BPA=\angle DAP=\angle BAP
, треугольник ABP
— равнобедренный. Поэтому
BP=AB=a,~PC=BC-BP=4a-a=3a.
Треугольник ABP
— равнобедренный, а так как
\angle PMC=\angle PAB=\angle APB=\angle CPM,
то треугольник PMC
— также равнобедренный, MC=PC=3a
. Аналогично DN=3a
. Значит,
MN=MC+CD+DN=3a+a+3a=7a=14,
откуда находим, что a=2
. Следовательно, периметр параллелограмма равен
2AB+2BC=2a+8a=10a=20.