1999. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.
Ответ. 48.
Указание. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного выпуклого четырёхугольника ABCD
. Поскольку KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, то KL\parallel MN
и KL=MN
, значит, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм, а так как его диагонали KM
и LN
равны, то KLMN
— прямоугольник. Стороны прямоугольника KLMN
параллельны диагоналям AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, поэтому диагонали четырёхугольника ABCD
взаимно перпендикулярны. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot8\cdot12=48.
