2001. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
Указание. Данная высота отсекает от треугольника подобный ему треугольник.
Решение. Первый способ. Пусть CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, AB
— гипотенуза. Поскольку синус острого угла прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла, то \sin\angle ABC=\sin\angle CBD
, или \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}
, откуда следует, что CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}
.
Второй способ. Пусть CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, AB
— гипотенуза. Из подобия треугольников CDB
и ACB
(по двум углам) следует, что \frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}
. Отсюда находим, что CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}
.
Третий способ. Выразим площадь данного треугольника двумя способами:
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot CD.
Отсюда находим, что CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 6, с. 53