2006. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3:10
.
Ответ. 40.
Указание. Выразите искомый перпендикуляр по теореме Пифагора из двух прямоугольных треугольников и решите получившееся уравнение.
Решение. Пусть AB=50
и AC=41
— наклонные, AD
— перпендикуляр, BD=10x
, CD=3x
. Тогда
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2},~\mbox{или}~50^{2}-(10x)^{2}=41^{2}-(3x)^{2},
или
50^{2}-41^{2}=100x^{2}-9x^{2},~91x^{2}=91\cdot9.
Отсюда находим, что
x=3,~BD=30,~AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=40.