2011. В треугольнике ABC
проведена высота AD
. Докажите, что AB^{2}-AC^{2}=BD^{2}-CD^{2}
и AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}
, где M
— произвольная точка высоты AD
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.
Решение. Из прямоугольных треугольников ADB
и ADC
находим, что
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2},~AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}.
Поэтому
AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}.
Отсюда следует, что
AB^{2}-AC^{2}=BD^{2}-CD^{2}.
Точно так же докажем, что
MB^{2}-MC^{2}=BD^{2}-CD^{2}.
Следовательно,
MB^{2}-MC^{2}=AB^{2}-AC^{2}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 30, с. 56