2012. Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.
Указание. Меньшая боковая сторона трапеции — общий катет двух прямоугольных треугольников.
Решение. Пусть BC
— меньшее основание трапеции, AB
— меньшая боковая сторона, AD
— большее основание. По теореме Пифагора выразим из прямоугольных треугольников ABC
и ADB
квадрат общего катета AB
:
AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=BD^{2}-AD^{2}.
Отсюда следует, что
BD^{2}-AC^{2}=AD^{2}-BC^{2}.