2013. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна большей боковой стороне. Найдите большую диагональ, если большая боковая сторона равна a
, а меньшее основание равно b
.
Ответ. \sqrt{a^{2}+3b^{2}}
.
Указание. Докажите, что большее основание вдвое больше меньшего.
Решение. Пусть CD
— большая боковая сторона трапеции ABCD
, BC
— меньшее основание, CD=a
, BC=b
, BD
— большая диагональ. Опустим из вершины C
перпендикуляр CM
на большее основание AD
. Поскольку AC=CD
, то AM=MD
, а так как AM=BC=b
, то AD=2b
. Тогда AB=CM=\sqrt{a^{2}-b^{2}}
. Следовательно,
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4b^{2}+a^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}+3b^{2}}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 31(2), с. 56