2016. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки m
и n
(m\gt n
). Найдите другой катет и гипотенузу.
Ответ. n\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}
, m\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Если другой катет равен nx
, то по теореме о биссектрисе треугольника гипотенуза равна mx
. По теореме Пифагора
(m+n)^{2}+n^{2}x^{2}=m^{2}x^{2}.
Отсюда находим, что x=\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}
. Тогда гипотенуза равна m\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}
, а второй катет равен n\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}
.