2021. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны \sqrt{52}
и \sqrt{73}
. Найдите гипотенузу треугольника.
Ответ. 10.
Указание. Обозначьте катеты через x
и y
и воспользуйтесь теоремой Пифагора.
Решение. Обозначим катеты через x
и y
. Тогда по теореме Пифагора
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=52,~y^{2}+\frac{x^{2}}{4}=73.
Сложив почленно эти уравнения, получим, что
\frac{5}{4}(x^{2}+y^{2})=125~\Rightarrow~x^{2}+y^{2}=100.
Отсюда находим, что гипотенуза равна \sqrt{x^{2}+y^{2}}=10
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.215, с. 173