2022. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.
Ответ. 2\sqrt{5}
.
Указание. Обозначьте части медиан от точки их пересечения до середин сторон через x
и y
и воспользуйтесь теоремой Пифагора.
Решение. Пусть AB=6
, AC=8
, BN
и CM
— медианы треугольника ABC
, O
— их точка пересечения, BN
перпендикулярно CM
. Обозначим ON=x
, OM=y
. Тогда OB=2x
, OC=2y
.
По теореме Пифагора
BM^{2}=OM^{2}+OB^{2},~CN^{2}=ON^{2}+OC^{2},
или
y^{2}+4x^{2}=9,~x^{2}+4y^{2}=16.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
5x^{2}+5y^{2}=25.
Поэтому x^{2}+y^{2}=5
. Следовательно,
BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2\sqrt{5}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.221, с. 173
Источник: Вступительный экзамен на математический факультет МОПИ. — 1979