2023. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.
Ответ. 9\sqrt{5}
и 8\sqrt{10}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Пусть катет AC=18
, катет BC=24
, AM
— биссектриса треугольника. По теореме Пифагора находим, что AB=30
.
Поскольку
\frac{CM}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},
то
CM=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot24=9.
Поэтому
AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{18^{2}+9^{2}}=9\sqrt{5}.
Аналогично найдём вторую биссектрису.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.079, с. 164