2025. Основания равнобедренной трапеции равны a
и b
, боковая сторона равна c
, а диагональ равна d
. Докажите, что d^{2}=ab+c^{2}
.
Указание. Проекция вершины меньшего основания равнобедренной трапеции на большее основание делит его на отрезки, один из которых равен полуразности, а второй — полусумме оснований.
Решение. Опустим из вершины C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
перпендикуляр CK
на большее основание AD
. Пусть
BC=b,~AD=a,~AB=CD=c,~AC=d.
Тогда
KD=\frac{a-b}{2},~AK=\frac{a+b}{2}.
Из треугольника ACK
по теореме Пифагора находим, что
AC^{2}=AK^{2}+CK^{2}=AK^{2}+CD^{2}-DK^{2},
или
d^{2}=\frac{(a+b)^{2}}{4}+c^{2}-\frac{(a-b)^{2}}{4}=ab+c^{2}.