2027. Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен 60^{\circ}
. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3
. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ. 15; 15; 30; 30.
Указание. Указанная диагональ разбивает параллелограмм на два прямоугольных треугольника с острым углом 30^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle A
— острый угол параллелограмма ABCD
, \angle A=60^{\circ}
. Тогда \angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
— тупой угол. Диагональ BD
делит его на два угла.
Пусть
\angle ABD=\frac{3}{4}\angle ABC=90^{\circ}.
Тогда
\angle ADB=\angle DBC=30^{\circ}.
Поэтому 2AB=AD
, а периметр параллелограмма равен 6AB=90
. Отсюда находим, что
AB=CD=15,~BC=AD=30.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.038, с. 161