2035. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
Ответ. 168.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой стороне.
Решение. Через вершину C
меньшего основания трапеции ABCD
(AB=15
, CD=13
) проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке K
. Тогда стороны треугольника CKD
равны:
CK=AB=15,~CD=13,~KD=AD-AK=AD-BC=14.
По формуле Герона
S_{\triangle CKD}=\sqrt{21\cdot7\cdot6\cdot8}=7\cdot3\cdot4=84.
Если CM
— высота треугольника CKD
, то
CM=\frac{2S_{\triangle CKD}}{KD}=\frac{2\cdot84}{14}=12.
Поскольку в трапецию ABCD
можно вписать окружность, то AD+BC=AB+CD
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CM=\frac{1}{2}(AB+CD)CM=14\cdot12=168.