2038. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 1024.
Указание. Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.
Решение. Пусть основания AD
и BC
равнобедренной трапеции ABCD
равны 40 и 24 соответственно, а диагонали AC
и BD
перпендикулярны. Через вершину C
проведём прямую параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD
в точке K
. Тогда ACK
— равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием AK=AD+DK=64
и высотой, равной половине AK
. Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACK}=\frac{1}{2}\cdot64\cdot32=32^{2}=1024.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.134, с. 167
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 4.3, с. 30