2042. Боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
равны соответственно 8 и 10, а основание BC
равно 2. Биссектриса угла ADC
проходит через середину стороны AB
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 40.
Указание. Продолжите биссектрису угла D
до пересечения с продолжением основания BC
.
Решение. Пусть M
— середина AB
. Продолжим биссектрису DM
угла ADC
до пересечения с продолжением основания BC
в точке K
. Поскольку
\angle CKD=\angle ADK=\angle CDK,
то треугольник KCD
— равнобедренный, KC=CD=10
. Тогда
KB=KC-BC=10-2=8.
Из равенства треугольников AMD
и BMK
следует, что AD=BK=8
.
Проведём через вершину C
прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке P
. Треугольник CPD
— прямоугольный, так как
CD^{2}=10^{2}=6^{2}+8^{2}=DP^{2}+PC^{2}.
Поэтому PC
— высота трапеции. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CP=40.
