2042. Боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
равны соответственно 8 и 10, а основание BC
равно 2. Биссектриса угла ADC
проходит через середину стороны AB
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 40.
Указание. Продолжите биссектрису угла D
до пересечения с продолжением основания BC
.
Решение. Пусть M
— середина AB
. Продолжим биссектрису DM
угла ADC
до пересечения с продолжением основания BC
в точке K
. Поскольку
\angle CKD=\angle ADK=\angle CDK,
то треугольник KCD
— равнобедренный, KC=CD=10
. Тогда
KB=KC-BC=10-2=8.
Из равенства треугольников AMD
и BMK
следует, что AD=BK=8
.
Проведём через вершину C
прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке P
. Треугольник CPD
— прямоугольный, так как
CD^{2}=10^{2}=6^{2}+8^{2}=DP^{2}+PC^{2}.
Поэтому PC
— высота трапеции. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CP=40.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1980, билет 10, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 80-10-3, с. 228
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 6.31, с. 59
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.32.1, с. 62