2043. Отношение оснований трапеции равно 3:2
, а отношение боковых сторон равно 5:3
. Точка пересечения биссектрис углов при большем основании трапеции лежит на меньшем основании. Найдите углы трапеции.
Ответ. 90^{\circ}
, 90^{\circ}
, \arcsin\frac{3}{5}
, 180^{\circ}-\arcsin\frac{3}{5}
.
Указание. Найдите отношение всех четырёх сторон трапеции. Затем через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне трапеции.
Решение. Пусть BC=2x
, AD=3x
— основания трапеции ABCD
, а AB=3y
, CD=5y
— её боковые стороны. Если M
— точка пересечения биссектрис углов A
и D
, то
BM=AB=3y,~CM=CD=5y.
Поэтому 5y+3y=2x
. Отсюда находим, что x=4y
. Следовательно, BC=8y
, AD=12y
.
Через точку C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке K
. Стороны треугольника CKD
равны:
CK=AB=3y,~CD=5y,~KD=AD-AK=
=AD-BC=12y-8y=4y.
Поэтому треугольник CKD
— прямоугольный. Следовательно,
\angle CDK=\arcsin\frac{CK}{CD}=\arcsin\frac{3}{5},~\angle BAD=\angle CKD=90^{\circ}.
