2045. Диагональ прямоугольной трапеции и её боковая сторона равны. Найдите среднюю линию трапеции, если высота трапеции равна 2, а боковая сторона равна 4.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Указание. Высота данной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, проходит через середину большего основания.
Решение. Пусть BC
— меньшее основание трапеции ABCD
, AB
— меньшая боковая сторона (AB=2
), CD
— большая боковая сторона, AC=CD=4
. Из точки C
опустим перпендикуляр CK
на большее основание AD
. Тогда K
— середина AD
,
AD=2AK=2BC=2\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=4\sqrt{3}.
Средняя линия трапеции ABCD
равна
\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(4\sqrt{3}+2\sqrt{3})=3\sqrt{3}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.057, с. 162