2046. Диагональ равнобедренной трапеции делит её тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 96.
Указание. Докажите, что большее основание трапеции равно боковым сторонам.
Решение. Пусть BC
и AD
— основания трапеции ABCD
, BC=3
, CA
— биссектриса угла BCD
. Поскольку
\angle CAD=\angle BCA=\angle DCA,
то треугольник ACD
— равнобедренный. Поэтому
AD=CD=AB=\frac{42-3}{3}=13.
Из вершины C
опустим перпендикуляр CK
на основание AD
. Тогда
DK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{13-3}{2}=5,
CK=\sqrt{CD^{2}-KD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CK=96.
