2047. Основания трапеции равны a
и b
, углы при большем основании равны 30^{\circ}
и 45^{\circ}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{1}{4}(a^{2}-b^{2})(\sqrt{3}-1)
.
Указание. Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне трапеции.
Решение. Пусть a\gt b
. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке M
, и перпендикуляр CK
к AD
.
Пусть \angle A=45^{\circ}
, \angle D=30^{\circ}
. Обозначим CK=h
. Тогда
MK=KC=h,~KD=\sqrt{3}KC=h\sqrt{3};
MD=AD-AM=AD-BC=a-b.
С другой стороны,
MD=MK+KD=h+h\sqrt{3}=h(\sqrt{3}+1)=a-b.
Отсюда находим, что h=\frac{a-b}{\sqrt{3}+1}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CK=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{(a+b)(a-b)}{\sqrt{3}+1}=\frac{1}{4}(a^{2}-b^{2})(\sqrt{3}-1).